Родился в 1914 году в с. Перелоги Юрьевского уезда Владимирской губернии. В 1930 году окончил сельскую школу и был направлен во Владимирскую школу фабрично-заводского ученичества. В 1934 году направлен во 2-ю тамбовскую школу гражданского воздушного флота. В 1938-1940 годах был летчиком-инструктором во владимирском и кольчугинском аэроклубах. Великую Отечественную войну встретил курсантом Астафьевской военно-авиационной школы.

Гвардии майор, командир авиаэскадрильи 156-го гвардейского истребительного авиационного Львовского полка 12-й гвардейской истребительной авиационной Знаменской ордена Богдана Хмельницкого дивизии 1-го гвардейского штурмового авиационного Кировоградского Краснознамённого корпуса. За период Великой Отечественной войны на счету А.Е. Максимова 412 боевых вылетов и 19 сбитых самолетов противника. Последний боевой вылет совершил 9 мая 1945 года на разведку аэродрома «Ружаны» под Прагой. 9 июня 1945 года А.Е. Максимов удостоен медали «За освобождение Праги».

Награды: орден Красного Знамени (22.07.1943, 19.03.1944, 23.01.1957), орден Александра Невского (15.12.1943), орден Отечественной войны I степени (11.10.1944), звание Герой Советского Союза (10.04.1945), медаль «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг.» (09.05.1945), медаль «За взятие Берлина» (09.06.1945), медаль «За боевые заслуги» (17.01.1951), орден Красной Звезды (04.06.1955, 30.12.1956).

После окончания войны продолжил службу в ВВС. В 1962 году ушел на пенсию. Умер в 1984 году.