Родился 4 ноября 1917 года в д. Остров Ковровского уезда Владимирской губернии. В 1936 году окончил школу. 4 августа того же года по отбору, произведенному среди выпускников, М.И. Апольцев был зачислен в Военную школу лётчиков морской и сухопутной авиации им. И.В. Сталина.

Участвовал в Великой Отечественной войне с 22 июня 1941 года, служил в Одессе командиром взвода особого назначения моряков, военным лётчиком участвовал в обороне Севастополя и в битве за Кавказ, после ранения занимался подготовкой летчиков, служил адъютантом авиаполка.

Награды: медали «За оборону Одессы» (11.10.1943), «За оборону Кавказа» (24.04.1945), орден Отечественной войны II степени (24.12.1945), медаль «За боевые заслуги» (05.11.1946), орден Красной Звезды (26.02.1953), медаль «За оборону Севастополя».

Из наградного листа адъютанта 3-й авиаэскадрильи 63-го истребительного авиаполка 13-й пикирующей авиационной Севастопольской дивизии ВВС Черноморского флота старшего лейтенанта Апольцева Михаила Ивановича от 27 октября 1945 года:

«Тов. Апольцев участник Отечественной войны с 22 июня 1941 г. по 9 мая 1945 г. За период Отечественной войны участвовал в обороне г. Одессы – командиром взвода моряков-добровольцев отряда Особого назначения. Взвод под его командованием уничтожил: 120 румынских солдат и офицеров, подорвал один средний танк, 1 дальнобойную батарею 4-х орудийного состава. Неоднократно ходил в разведку и снял двух часовых холодным оружием.

Будучи лётчиком 7-го истребительного авиационного полка в период обороны Севастополя и Кавказа на самолётах: И-15, ЯК-1, ЛАГГ-3 произвёл 24 боевых вылета, из них: 7 ночных вылетов и 4 ночных эффективных штурмовки. При обороне Севастополя на Херсонесском маяке был контужен. По состоянию здоровья отстранён от лётной работы. Работая адъютантом, не считаясь со своим личным временем и отдыхом, бесперебойно обеспечивает боевую работу подразделений, проявил себя как мужественный воин-офицер.

Достоин правительственной награды орденом Отечественной войны I степени».

Приказом командующего ВВС Черноморского флота от 24 декабря 1945 года М.И. Апольцев награждён орденом Отечественной войны II степени.

По окончании Великой Отечественной войны М.И. Апольцев продолжал службу в армии до 1956 года, вышел в отставку в звании майора. В 1957 году работал заведующим отделом пропаганды Владимирского райкома партии, в 1958-1960 годах – директор Боголюбовского плодоовощного завода, 1960-1961 – директор киноустановки Владимирского отделения культуры, в 1961-1963 – зав. Боголюбовской пивной базой, в 1963-1965 – начальник штаба ГО Владимирского района, начальник штаба ГО Владимирского химического завода, 1967-1969 – начальник штаба ГО Суздальского. Умер в 1990 году.