Родился в 1925 году в селе Спасское Владимирского уезда Владимирской губернии. Работал трактористом в МТС. Во время Великой Отечественной войны был призван в Красную Армию Небыловским РВК. В 1943–1944 годах учился в Чкаловском пулеметном училище. В декабре 1944 года отличился при форсировании Дуная в районе города Тёкёль, за что в марте 1945 был удостоен звания Героя Советского Союза.

Награды: медаль «За отвагу» (01.09.1944), звание Герой Советского Союза (23.03.1945), медаль «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг.» (09.05.1945), медаль «За взятие Будапешта» (09.06.1945), медаль «За доблестный труд в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг.» (06.07.1945), медаль «За боевые заслуги» (21.08.1953).

После войны учился на курсах «Выстрел», затем в Военно-юридической академии, кандидат юридических наук. Занимался научной и преподавательской деятельностью. Был близким другом Владимира Солоухина, который сделал своего земляка и сверстника Косицына одним из героев документальных книг «Третья охота» и «Григоровы острова». Умер в 1988 году.

Из наградного листа командира пулеметного взвода 1-й пулеметной роты 1077-го стрелкового Краснознаменного полка 316-й стрелковой Темрюкской Краснознаменной дивизии лейтенанта А.П. Косицына от 9 декабря 1944 года

«В ночь с 4-го на 5.12.1944 года при форсировании реки Дунай между населенными пунктами Чеп и Мартонваршар Будапештского округа (Венгрия) тов. Косицын первым достиг правого берега и повел огонь из станкового пулемета по огневым точкам пулеметов противника, подавил при этом 3 огневых точки. В течение суток тов. Косицын участвовал в отражении 16 яростных контратак противника. Сам лично заменял раненых пулеметчиков и, не щадя жизни, вел огонь по наступающему противнику. 18 вражеских солдат были им уничтожены. Своими бесстрашными действиями он способствовал удержанию захваченного плацдарма.

Достоин присвоения звания «ГЕРОЙ СОВЕТСКОГО СОЮЗА».