Родился 27 августа 1895 года в г. Владимире в семье рабочего. Семья была большой, поэтому работать начал рано: трудился в портняжной мастерской, в губернской типографии. Сдал экстерном экзамены за 7 классов во Владимирской мужской гимназии. В 1915 году, после окончания школы прапорщиков, Березин направлен на фронт Первой мировой войны, где к 1918 году дослужился до звания штабс-капитана, но после тяжёлого ранения был демобилизован. Лечился во владимирском госпитале. 4 мая 1918 года вступил в партию большевиков. По партийной мобилизации вступил в Красную Армию. В 1919 году – помощник командира отдельного батальона ВЧК. Участвовал в подавлении кулацких мятежей, воевал с интервентами и белогвардейцами. С окончанием Гражданской войны весь свой талант и способности отдал Советской Армии. Прошёл путь от командира роты до командира дивизии. В 1923 году окончил Высшую тактическо-стрелковую школу комсостава РККА им. Коминтерна «Выстрел», в 1928 году – специальные разведывательные курсы при 4 управлении штаба РККА.

7 апреля 1938 года Александр Дмитриевич назначен командиром 94-й стрелковой дивизии в Красноярске, 19 августа 1939 года – командиром вновь формируемой там же 119-й дивизии. 4 июня 1940 года ему присвоено звание генерал-майора.

С началом Великой Отечественной войны, 29 июня 1941 года, 119-я стрелковая дивизия Березина направлена на защиту Москвы: участвовала в строительстве Ржевского участка Ржевско-Вяземского укрепрайона, в Вяземской и Калининской оборонительных операциях, сумела вырваться из «Вяземского котла». В ходе Калининской наступательной операции принимала участие в освобождении г. Калинина (Тверь). За успешные боевые действия 17 марта 1942 года дивизия была преобразована в 17-ю гвардейскую стрелковую дивизию. Бывший командующий 31-й армией генерал Долматов в книге «Рубеж великой битвы» пишет:

«Не могу не вспомнить о 119-й стрелковой Красноярской дивизии, вписавшей не одну яркую страницу в летопись героической борьбы Красной Армии с превосходящими силами врага в 1941 году. Сибиряки показали пример беззаветной преданности Родине, образцы мужества и отваги. Командовал дивизией генерал А.Д. Березин. Дивизии сибиряков одной из первых в марте 1942-го было присвоено звание 17-й гвардейской».

Награды: медаль «XX лет РККА» (1938), орден Красного Знамени (12.01.1942).

Из наградного листа командира 119-й стрелковой дивизии 31-й армии генерал-майора Березина Александра Дмитриевича (1941-1942 годы):

«Соединение генерал-майора Березина вступило в бои с 8.9.41 г., начиная с д. Опецкое и Кувшиново. Под д. Талутино соединение разбило фашистскую дивизию, захватило большое количество трофеев, а под д. Шеряково был разбит полк противника с большими для него потерями.

В боях с германскими полчищами генерал-майор Березин проявил себя как большевистский командир Красной Армии, вполне освоивший современные методы войны, тактику и стратегию фашистской армии.

За умелое и мужественное руководство дивизией, за успешное выполнение боевых задач, поставленных командованием армии в борьбе с германским фашизмом, генерал-майор Березин достоин награждения боевым орденом «Красное Знамя».

В июне 1942 г. генерал-майор Березин назначен заместителем командующего 22-й армией, откуда был откомандирован в штаб 41-й армии. 2 июля 1942 г. в ходе Холм-Жирковской оборонительной операции армия попала в окружение. Генерал Березин с остатками частей организовывал круговую оборону, намечал места прорыва, поддерживал связь с партизанами, однако 5 июля 1942 г. был тяжело ранен и вскоре скончался. Похоронен в братской могиле на воинском кладбище в д. Демяхи Бельского района Тверской области.

Имя А.Д. Березина увековечено в г. Красноярске, где генерал формировал 119-ю стрелковую дивизию – в названии одной из улиц, сквера и средней школы № 152, а также в названии улиц в г. Владимире и в г. Белый Тверской области.